Управляемость линейной системы

Будем рассматривать систему \begin{equation}\label{syst} \dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t), \quad t \in [t_0, t_1], \end{equation} где $$x \in \mathbb{R}^{n}$$ — вектор фазового состояния, $$u \in \mathbb{R}^m$$ — вектор управлений.

Пусть наша система движется из положения $$x(t_0) = x^0$$ и должна попасть в положение $$x(t_1) = x^1$$, при этом мы минимизируем следующий функционал:

\[ J[u(\cdot)] = \lVert u(\cdot) \rVert = \left( \int\limits_{t_0}^{t_1} \lVert u(t) \rVert^2 dt \right)^\frac{1}{2} \to \min. \]

Определение

Система \eqref{syst} называется полностью (или вполне) управляемой на $$[t_0, t_1],\ t_0 < t_1$$, если для любых $$x^0, x^1 \in \mathbb{R}^n$$ существует такое управление $$u(\cdot)$$, что $$x(t_1, t_0, x^0 \colon u(\cdot)) = x^1$$ или $$x(t_0, t_1, x^1 \colon u(\cdot)) = x^0$$.

То есть под действием этого управления траектория, выпущенная в момент времени $$t_0$$ из точки $$x^0$$, в момент времени $$t_1$$ будет в состоянии $$x^1$$ (или же наоборот, если мы пускаем траектории из конечного состояния в обратном времени).

Задача моментов

Найдём условия на $$u(\cdot)$$, чтобы $$x(t_0) = x^0,\ x(t_1) = x^1$$. Для этого выпишем формулу Коши:

\[ x^1 = X(t_1, t_0) x^0 + \int\limits_{t_0}^{t_1} X(t_1, t) \left( B(t) u(t) + f(t) \right) dt. \]

Перенесём все слагаемые, содержащие $$u(t)$$ в одну сторону.

\[ \int\limits_{t_0}^{t_1} X(t_1, t) B(t) u(t) dt = x^1 - X(t_1, t_0) x^0 - \int\limits_{t_0}^{t_1} X(t_1, t) f(t) dt. \]

Введём обозначения: \begin{equation}\label{matrH} H(t_1, t) = X(t_1, t) B(t). \end{equation} За $$c \in \mathbb{R}^n$$ обозначим правую часть этого равенства. Получим задачу моментов:

\begin{equation}\label{zm} \int\limits_{t_0}^{t_1} H(t_1, t) u(t) dt = c. \end{equation}

Критерий полной управляемости

Система \eqref{syst} - полностью управляема тогда и только тогда, когда $$\forall l \neq \theta$$ выполняется $$H^T(t_1, t) l \not \equiv 0$$.

Доказательство.

Необходимость. Предположим противное: пусть существует $$l \neq \theta$$ такое, что $$H^T(t_1, t) l \equiv 0$$. Транспонируем это равенство: $$l^T H(t_1, t) \equiv 0$$. Так как система управляема, то выполняется задача моментов \eqref{zm}, то есть для любого $$c \in \mathbb{R}^n$$ найдётся $$u(\cdot)$$ такое, что $$\int\limits_{t_0}^{t_1} H(t_1, t) u(t) dt = c$$. Домножим обе части этого равенства на $$l^T$$.

\[ \int\limits_{t_0}^{t_1} l^T H(t_1, t) u(t) dt = l^T c. \]

Легко видеть, что левая часть этого равенства равна нулю (т.к. $$l^T H(t_1, t) \equiv 0$$), а правая строго больше нуля. Пришли к противоречию. Значит наше предположение неверно, то есть $$H^T(t_1, t) l \not \equiv 0 \ \forall l \neq \theta$$.

Достаточность. Пусть $$H^T(t_1, t) l \not \equiv 0$$. Найдём тогда управление, которое решает поставленную задачу.

Рассмотрим $$W(t_1, t_0) = \int\limits_{t_0}^{t_1} H(t_1, t) H^T(t_1, t)$$ — матрица управляемости

Рассмотрим $$l \in \ker W$$, то есть такие $$l$$, что $$H^T(t_1, t) l \equiv 0$$. По предположению это выполняется только если $$l = \theta$$, то есть $$\ker W = \{ \theta \}$$. Это значит, что определитель матрицы $$W$$ не равен нулю.

Теперь зафиксируем произвольные $$x^0,\ x^1$$. Рассмотрим $$u(t) = H^T(t_0, t) W^{-1} c$$ — это и будет искомое управление. $$\blacksquare$$

Следствия.

• Система \eqref{syst} полностью управляема тогда и только тогда, когда определитель матрицы управляемости $$W(t,t_0)$$ равен нулю.
• Если \eqref{syst} вполне управляема на $$[t_0, t_1]$$, то система \eqref{syst} вполне управляема на $$[t'_0, t'_1]$$ для произвольных $$t'_0 \le t_0,\ t'_1 \ge t_1$$

Теорема Калмана

Рассмотрим ещё один критерий полной управляемости для автономных систем, то есть у которых $$A = \mathrm{const},\ B = \mathrm{const}$$. Сначала сформулируем вспомогательное утверждение.

Теорема Гамильтона-Кэли. Пусть матрица $$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$$ — постоянная матрица, а $$\chi_A(\lambda) = |A - \lambda I| = c_0 + c_1 \lambda + \cdots + c_{n-1} \lambda^{n-1} + c_n \lambda^n$$ — её характеристический многочлен. Тогда $$\chi_A(A) = c_0 I + c_1 A + \cdots + c_n A^n = 0$$.

И выделим важное, но очевидное следствие из этой теоремы: найдутся такие числа $$\alpha_0,\ \alpha_1, \dots,\ \alpha_{n-1}$$, что \begin{equation}\label{cons} A^n = \alpha_0 I + \alpha_1 A + \cdots + \alpha_{n-1} A^{n-1}. \end{equation}

Теперь мы можем приступить к формулировке и доказательству теоремы Калмана.

Теорема Калмана. Система \eqref{syst} полностью управляема тогда и только тогда, когда $$\rank [B \vert AB \vert \cdots \vert A^{n-1} B] = n$$.

Обозначим матрицу $$[B \vert AB \vert \cdots \vert A^{n-1} B] \in \mathrm{R}^{n \times mn} = C$$.

Доказательство. Будем доказывать, что система \eqref{syst} не вполне управляема тогда и только тогда, когда $$\rank C < n$$. Необходимость. Пусть система не вполне управляема. Тогда по критерию полной управляемости найдётся такой вектор $$l \neq \theta$$, что $$l^T H(t_1, t) = 0$$. Из \eqref{matrH} и связи матрицы Коши и матричной экспоненты получаем, что $$l^T e^{A(t_1 - t)} B \equiv 0$$. Продифференцируем последнее равенство $$n-1$$ раз по $$t$$. Учтём, что экспонента и матрица перестановочны:

\begin{gather*} -l^T e^{A(t_1 - t)} A B = 0; \\ \vdots \\ (-1)^{n-1} l^T e^{A(t_1 - t)} A^{n-1} B = 0. \end{gather*}

Зафиксируем произвольное $$t \in (t_0, t_1)$$ и рассмотрим $$\tilde{l} = \left( e^{A(t_1-t)} \right)^T l$$. Очевидно, что $$\tilde{l} \neq 0$$, так как матрица $$e^{A(t_1 - t)}$$ — невырожденная. Тогда $$\tilde{l}^T B = \theta, \ \tilde{l}^T AB = \theta, \ \cdots,\ l^T A^{n-1} B = \theta$$. В таком случае получаем, что $$\tilde{l}^T C = \theta$$, то есть $$\rank C < n$$.

Достаточность. Пусть $$\rank C < n$$. Так как образ неполноразмерен, то существует вектор $l \neq \theta$, перпендикулярный образу, то есть $l$ перпендикулярен всем столбцам матрицы $$[B \vert AB \vert \cdots \vert A^{n-1}B]$$: $$l^TB = \theta,\ l^T AB = \theta,\ \dots,\ l^T A^{n-1}B = \theta$$. Получаем, что что $$l^T [B \vert AB \vert \cdots \vert A^{n-1}B] = \theta$$.

По следствию из теоремы Калмана для любого $$k \in \mathbb{N} \cup \left\{0\right\}$$ найдутся такие числа $$\alpha^{(k)}_0,\ \alpha^{(k)}_1, \dots, \alpha^{(k)}_{n-1}$$, что $$A^k = \alpha^{(k)}_0 I + \alpha^{(k)}_1 A + \cdots + \alpha^{(k)}_{n-1} A^{n-1}$$. Распишем подробнее, как выбираются коэффициенты $$\alpha_i^{(k)}$$:

• если $$k \in [0, n-1]$$, то $$\alpha_k = 1$$, а остальные $$\alpha$$ равны 0;
• если $$k = n$$, то используем теорему Гамильтона-Кэли;
• если $$k > n$$, то, домножая выражение \eqref{cons} на $$A$$, получаем, что $$A^{n+1} = \alpha_0 A + \alpha_1 A^2 + \cdots + \alpha_{n-1} A^n$$ и далее по индукции.

Для любого $$k \in \mathbb{N} \cup \left\{0\right\} 0$$ выше мы получили, что $$l^T A^k B = \theta$$. Таким образом \[ l^T \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{A^k t^k}{k!} B = \theta. \]

Учитывая формулу для матричной экспоненты, получаем, что $$l^T e^{A(t_1 - t)} B = l^T H(t_1, t) = 0$$. Используя критерий полной управляемости, в итоге получаем, что система \eqref{syst} не вполне управляема. $$\blacksquare$$

Замечание. Если матрицы $$A$$ и $$B$$ — постоянны, то управляемость не зависит от $$t_0$$ и $$t_1$$ (главное, чтобы ($$t_0 \neq t_1$$).

Декомпозиция состояний системы

Рассмотрим систему с постоянными коэффициентами:

\begin{equation}\label{syst_avt} \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t),\quad A = \mathrm{const}, B = \mathrm{const}. \end{equation}

Обозначим за $$r$$ ранг расширенной матрицы системы $$[B \vert AB \vert \cdots \vert A^{n-1}B]$$, где $$0 < r < n$$. Тогда существует невырожденная матрица $$T \in \mathbb{R}^{n \times n}$$ такая, что \[ \begin{gather*} y = Tx,\\ \dot{y} = \tilde{A} y(t) + \tilde{B} u(t), \end{gather*} \quad \begin{matrix} \tilde{A} = TAT^{-1},\\ \tilde{B} = TB, \end{matrix} \]

при этом $$\rank [\tilde{B}_1 \vert \tilde{A}_{11} \tilde{B}_1 \vert \cdots \vert \tilde{A}_{11}^{r-1} \tilde{B}_1] = r$$, где \[ \tilde{A} = \begin{bmatrix} \tilde{A}_{11} && \tilde{A}_{12} \\ \bf 0 && \tilde{A}_{22} \end{bmatrix},\quad \tilde{B} = \begin{bmatrix} \tilde{B}_1 \\ \bf 0 \end{bmatrix}, \]

а матрицы $$\tilde{A}_{11}$$ и $$\tilde{B}_1$$ имеют соответственно размерности $$r \times n$$ и $$r \times m$$.

Говоря простым языком, любую систему можно разложить так, что

\[ y = \begin{bmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{bmatrix} \begin{array}{l} \left.\right\} r\text{ строк} \\ \left.\right\} n-r \text{ строк} \end{array}\ , \]

при этом

\[ \begin{aligned} & \dfrac{dy^{(1)}}{dt} = \tilde{A}_{11} y^{(1)} + \tilde{A}_{12} y^{(2)} + \tilde{B}_1 u(t) \text{ — полностью управляемая часть} \\ & \dfrac{dy^{(2)}}{dt} = \tilde{A}_{22} y^{(2)} \text{ — неуправляемая часть} \end{aligned} ,\ \text{где } \rank[\tilde{B}_1 \vert \tilde{A}_{11} \tilde{B}_1 \vert \cdots \vert \tilde{A}_{11}^{r-1} \tilde{B}_1] = r. \]

Если $$r = n$$, то система полностью управляема; если $$r = 0$$, то система неуправляема.

Для начала докажем вспомогательную лемму.

Вспомогательная лемма

Пусть $$r = \rank[B \vert AB \vert \cdots \vert A^{n-1}B],\ L = \im [B \vert AB \vert \cdots \vert A^{n-1}B]$$. Будем рассматривать систему \eqref{syst_avt}. Тогда $$L$$ инвариантно относительно системы \eqref{syst_avt}, то есть для любых начального момента $$t_0$$, начального положения $$x^0 \in L$$ и управления $$u(\cdot)$$ выполняется, что $$x(t, t_0, x^0 \vert u(\cdot)) \in L \ \forall t\ \ge t_0$$.

Доказательство. Выпишем формулу Коши: \[ x(t, t_0, x^0 \vert u(\cdot)) = e^{A(t_1 - t)} x^0 + \int\limits_{t_0}^t e^{A(t - \tau)} B(\tau) u(\tau) d\tau. \]

Известно, что $$\left< l, x^0 \right> = 0\ \forall l\in L^T$$, то есть $$\forall l \in L^T$$ выполняется, что $$l^T[B \vert AB \vert \cdots \vert A^{n-1}B] = \theta$$. По индукции получаем, что $$l^T A^k B = \theta \ \forall k\in \mathbb{N}\cup 0$$. Таким образом $$l^T e^{At} B = \theta$$.

Рассмотрим $$x^0 \in L$$. В таком случае $$x^0$$ представим в виде линейной комбинации столбцов матрицы $$[B \vert AB \vert \cdots \vert A^{n-1}B]$$, то есть найдутся такие вектора $$v^{(0)}, \dots, v^{(n-1)} \in \mathbb{R}^m$$ такие, что $$x^0 = Bv^(0) + \cdots + A^{n-1} B v^{(n-1)}$$.

Домножим формулу Коши слева на $$l^T$$:

\begin{aligned} l^T x(t, t_0, x^0 \vert u(\cdot)) &= \sum\limits_{j=0}^{n-1} l^T e^{A(t - t_0)} A^j B v^{(j)} + \int\limits_{t_0}^{t_1} l^T e^{A(t-\tau)} B u(\tau) d\tau = \\ &= \sum\limits_{j=0}^{n-1} \sum\limits_{k=0}^{\infty} l^T \frac{A^k (t-t_0)^k}{k!} A^j B v^{(j)} + \int\limits_{t_0}^t \sum\limits_{k=0}^{\infty} l^T \frac{A^k (t-\tau)^k}{k!} B u(\tau) d\tau = \left\{ l^T A^k B = \theta \ \forall k\in\mathbb{N} \right\} = \theta. \end{aligned}

Таким образом получаем, что $$x \in (L^\perp)^\perp = L$$. $$\blacksquare$$

Доказательство теоремы о декомпозиции

Столбцы матрицы $$T^{-1}$$ таковы, что первые $$r$$ столбцов образуют базис $$L$$, а остальные образуют базис дополнения $$L$$ до $$\mathbb{R}^n$$.

Рассмотрим следующие блочные матрицы: \[ \begin{bmatrix} \tilde{A}_{11} && \tilde{A}_{12} \\ \tilde{A}_{21} && \tilde{A}_{22} \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} \tilde{B}_1 \\ \tilde{B}_2 \end{bmatrix} \] и докажем, что $$\tilde{A}_{21} = 0,\ \tilde{B}_2 = 0$$.

Рассмотрим систему \begin{equation} \label{syst_y} \left\{ \begin{aligned} & \dot{y}^{(1)}(t) = \tilde{A}_{11} y^{(1)}(t) + \tilde{A}_{12} y^{(2)} + \tilde{B}_1 u(t) \\ & \dot{y}^{(2)}(t) = \tilde{A}_{21} y^{(1)}(t) + \tilde{A}_{22} y^{(2)} + \tilde{B}_2 u(t). \end{aligned} \right. . \end{equation}

Она верна для любых начальных условий. Обозначим $$y^{(1)}(t_0) = y^{(1),0}$$, $$y^{(2)}(t_0) = y^{(2),0}$$.

Пусть $$u \equiv 0,\ y^{(2),0} = 0,\ y^{(1),0}$$ — произвольное. Тогда \[ x(t_0) = T^{-1} y(t_0) = T^{-1} \begin{bmatrix} y^{(1),0} \\ 0 \end{bmatrix} \in L. \]

Таким образом получаем, что $$x[t] \in L$$.

Во второй строке $$(6)$$ при $$t = t_0$$ получаем, что $$0 = \tilde{A}_{21} y^{(1),0} \ \forall y^{(1),0} \in \mathbb{R}^n$$. Таким образом, $$\tilde{A}_{21} = 0$$.

Теперь система $$(6)$$ записывается в следующем виде:

\[ \left\{ \begin{aligned} &\dot{y}^{(1)} = \tilde{A}_{11} y^{(1)}(t) + \tilde{A}_{21} y^{(2)}(t) + \tilde{B}_1 u(t) \\ &\dot{y}{(2)} = \tilde{A}_{22} y^{(2)}(t) + \tilde{B}_2 u(t) \end{aligned} \right. \]

Так как $$x[t] \in L, x[t] = T^{-1} \begin{bmatrix} y^{(1)}[t] \\ y^{(2)}[t] \end{bmatrix}$$, то $$y^{(2)}[t] \equiv 0$$. Вторая строка $$(6)$$ при $$t = t_0$$ выглядит следующим образом: $$0 = 0 + \tilde{B}_2 u(t) \ \forall u(\cdot)$$, то есть $$\tilde{B}_2 = 0$$.

Осталось доказать ранговое условие.

Так как $$\tilde{B} = TB, \tilde{A}\tilde{B} = TAB, \dots, \tilde{A}^{n-1}\tilde{B} = TA^{n-1}B$$, то $$[\tilde{B} \vert \tilde{A}\tilde{B} \vert \cdots \vert \tilde{A}^{n-1}\tilde{B}] = T[B \vert AB \vert \cdots \vert A^{n-1}B]$$, а значит $$\rank [\tilde{B} \vert \tilde{A}\tilde{B} \vert \cdots \vert \tilde{A}^{n-1}\tilde{B}]$$. Но так как $$\tilde{A}_{21} = 0, \tilde{B}_2 = 0$$, то $$\rank [\tilde{B} \vert \tilde{A}\tilde{B} \vert \cdots \vert \tilde{A}^{n-1}\tilde{B}] = \rank [\tilde{B}_1 \vert \tilde{A}_{11}\tilde{B}_{1} \vert \cdots \vert \tilde{A}_{11}^{n-1}\tilde{B}_1]$$, откуда получаем, что $$\rank [B \vert AB \vert \cdots \vert A^{n-1}B] = r$$. $$\blacksquare$$