Управляемость линейной системы

Будем рассматривать систему $$\begin{equation}\label{syst} \dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t), \quad t \in [t_0, t_1], \end{equation}$$ где $x \in \mathbb{R}^{n}$ — вектор фазового состояния, $u \in \mathbb{R}^m$ — вектор управлений.

Пусть наша система движется из положения $x(t_0) = x^0$ и должна попасть в положение $x(t_1) = x^1$, при этом мы минимизируем следующий функционал:

$$J[u(\cdot)] = \lVert u(\cdot) \rVert = \left( \int\limits_{t_0}^{t_1} \lVert u(t) \rVert^2 dt \right)^\frac{1}{2} \to \min.$$

Определение

Система $\eqref{syst}$ называется полностью (или вполне) управляемой на $[t_0, t_1],\ t_0 < t_1$, если для любых $x^0, x^1 \in \mathbb{R}^n$ существует такое управление $u(\cdot)$, что $x(t_1, t_0, x^0 \colon u(\cdot)) = x^1$ или $x(t_0, t_1, x^1 \colon u(\cdot)) = x^0$.

То есть под действием этого управления траектория, выпущенная в момент времени $t_0$ из точки $x^0$, в момент времени $t_1$ будет в состоянии $x^1$ (или же наоборот, если мы пускаем траектории из конечного состояния в обратном времени).

Задача моментов

Найдём условия на $u(\cdot)$, чтобы $x(t_0) = x^0,\ x(t_1) = x^1$. Для этого выпишем формулу Коши:

$$x^1 = X(t_1, t_0) x^0 + \int\limits_{t_0}^{t_1} X(t_1, t) \left( B(t) u(t) + f(t) \right) dt.$$

Перенесём все слагаемые, содержащие $u(t)$ в одну сторону.

$$\int\limits_{t_0}^{t_1} X(t_1, t) B(t) u(t) dt = x^1 - X(t_1, t_0) x^0 - \int\limits_{t_0}^{t_1} X(t_1, t) f(t) dt.$$

Введём обозначения: $$\begin{equation}\label{matrH} H(t_1, t) = X(t_1, t) B(t). \end{equation}$$ За $c \in \mathbb{R}^n$ обозначим правую часть этого равенства. Получим задачу моментов:

$$\begin{equation}\label{zm} \int\limits_{t_0}^{t_1} H(t_1, t) u(t) dt = c. \end{equation}$$

Критерий полной управляемости

Система $\eqref{syst}$ - полностью управляема тогда и только тогда, когда $\forall l \neq \theta$ выполняется $H^T(t_1, t) l \not \equiv 0$.

Доказательство.

Необходимость. Предположим противное: пусть существует $l \neq \theta$ такое, что $H^T(t_1, t) l \equiv 0$. Транспонируем это равенство: $l^T H(t_1, t) \equiv 0$. Так как система управляема, то выполняется задача моментов $\eqref{zm}$, то есть для любого $c \in \mathbb{R}^n$ найдётся $u(\cdot)$ такое, что $\int\limits_{t_0}^{t_1} H(t_1, t) u(t) dt = c$. Домножим обе части этого равенства на $l^T$.

$$\int\limits_{t_0}^{t_1} l^T H(t_1, t) u(t) dt = l^T c.$$

Легко видеть, что левая часть этого равенства равна нулю (т.к. $l^T H(t_1, t) \equiv 0$), а правая строго больше нуля. Пришли к противоречию. Значит наше предположение неверно, то есть $H^T(t_1, t) l \not \equiv 0 \ \forall l \neq \theta$.

Достаточность. Пусть $H^T(t_1, t) l \not \equiv 0$. Найдём тогда управление, которое решает поставленную задачу.

Рассмотрим $W(t_1, t_0) = \int\limits_{t_0}^{t_1} H(t_1, t) H^T(t_1, t)$ — матрица управляемости

Рассмотрим $l \in \ker W$, то есть такие $l$, что $H^T(t_1, t) l \equiv 0$. По предположению это выполняется только если $l = \theta$, то есть $\ker W = \{ \theta \}$. Это значит, что определитель матрицы $W$ не равен нулю.

Теперь зафиксируем произвольные $x^0,\ x^1$. Рассмотрим $u(t) = H^T(t_0, t) W^{-1} c$ — это и будет искомое управление. $\blacksquare$

Следствия.

• Система $\eqref{syst}$ полностью управляема тогда и только тогда, когда определитель матрицы управляемости $W(t,t_0)$ равен нулю.
• Если $\eqref{syst}$ вполне управляема на $[t_0, t_1]$, то система $\eqref{syst}$ вполне управляема на $[t'_0, t'_1]$ для произвольных $t'_0 \le t_0,\ t'_1 \ge t_1$

Теорема Калмана

Рассмотрим ещё один критерий полной управляемости для автономных систем, то есть у которых $A = \mathrm{const},\ B = \mathrm{const}$. Сначала сформулируем вспомогательное утверждение.

Теорема Гамильтона-Кэли. Пусть матрица $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ — постоянная матрица, а $\chi_A(\lambda) = |A - \lambda I| = c_0 + c_1 \lambda + \cdots + c_{n-1} \lambda^{n-1} + c_n \lambda^n$ — её характеристический многочлен. Тогда $\chi_A(A) = c_0 I + c_1 A + \cdots + c_n A^n = 0$.

И выделим важное, но очевидное следствие из этой теоремы: найдутся такие числа $\alpha_0,\ \alpha_1, \dots,\ \alpha_{n-1}$, что $$\begin{equation}\label{cons} A^n = \alpha_0 I + \alpha_1 A + \cdots + \alpha_{n-1} A^{n-1}. \end{equation}$$

Теперь мы можем приступить к формулировке и доказательству теоремы Калмана.

Теорема Калмана. Система $\eqref{syst}$ полностью управляема тогда и только тогда, когда $\rank [B \vert AB \vert \cdots \vert A^{n-1} B] = n$.

Обозначим матрицу $[B \vert AB \vert \cdots \vert A^{n-1} B] \in \mathrm{R}^{n \times mn} = C$.

Доказательство. Будем доказывать, что система $\eqref{syst}$ не вполне управляема тогда и только тогда, когда $\rank C < n$. Необходимость. Пусть система не вполне управляема. Тогда по критерию полной управляемости найдётся такой вектор $l \neq \theta$, что $l^T H(t_1, t) = 0$. Из $\eqref{matrH}$ и связи матрицы Коши и матричной экспоненты получаем, что $l^T e^{A(t_1 - t)} B \equiv 0$. Продифференцируем последнее равенство $n-1$ раз по $t$. Учтём, что экспонента и матрица перестановочны:

$$\begin{gather*} -l^T e^{A(t_1 - t)} A B = 0; \\ \vdots \\ (-1)^{n-1} l^T e^{A(t_1 - t)} A^{n-1} B = 0. \end{gather*}$$

Зафиксируем произвольное $t \in (t_0, t_1)$ и рассмотрим $\tilde{l} = \left( e^{A(t_1-t)} \right)^T l$. Очевидно, что $\tilde{l} \neq 0$, так как матрица $e^{A(t_1 - t)}$ — невырожденная. Тогда $\tilde{l}^T B = \theta, \ \tilde{l}^T AB = \theta, \ \cdots,\ l^T A^{n-1} B = \theta$. В таком случае получаем, что $\tilde{l}^T C = \theta$, то есть $\rank C < n$.

Достаточность. Пусть $\rank C < n$. Так как образ неполноразмерен, то существует вектор $l \neq \theta$, перпендикулярный образу, то есть $l$ перпендикулярен всем столбцам матрицы $[B \vert AB \vert \cdots \vert A^{n-1}B]$: $l^TB = \theta,\ l^T AB = \theta,\ \dots,\ l^T A^{n-1}B = \theta$. Получаем, что что $l^T [B \vert AB \vert \cdots \vert A^{n-1}B] = \theta$.

По следствию из теоремы Калмана для любого $k \in \mathbb{N} \cup \left\{0\right\}$ найдутся такие числа $\alpha^{(k)}_0,\ \alpha^{(k)}_1, \dots, \alpha^{(k)}_{n-1}$, что $A^k = \alpha^{(k)}_0 I + \alpha^{(k)}_1 A + \cdots + \alpha^{(k)}_{n-1} A^{n-1}$. Распишем подробнее, как выбираются коэффициенты $\alpha_i^{(k)}$:

• если $k \in [0, n-1]$, то $\alpha_k = 1$, а остальные $\alpha$ равны 0;
• если $k = n$, то используем теорему Гамильтона-Кэли;
• если $k > n$, то, домножая выражение $\eqref{cons}$ на $A$, получаем, что $A^{n+1} = \alpha_0 A + \alpha_1 A^2 + \cdots + \alpha_{n-1} A^n$ и далее по индукции.

Для любого $k \in \mathbb{N} \cup \left\{0\right\} 0$ выше мы получили, что $l^T A^k B = \theta$. Таким образом $$l^T \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{A^k t^k}{k!} B = \theta.$$

Учитывая формулу для матричной экспоненты, получаем, что $l^T e^{A(t_1 - t)} B = l^T H(t_1, t) = 0$. Используя критерий полной управляемости, в итоге получаем, что система $\eqref{syst}$ не вполне управляема. $\blacksquare$

Замечание. Если матрицы $A$ и $B$ — постоянны, то управляемость не зависит от $t_0$ и $t_1$ (главное, чтобы ($t_0 \neq t_1$).

Декомпозиция состояний системы

Рассмотрим систему с постоянными коэффициентами:

$$\begin{equation}\label{syst_avt} \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t),\quad A = \mathrm{const}, B = \mathrm{const}. \end{equation}$$

Обозначим за $r$ ранг расширенной матрицы системы $[B \vert AB \vert \cdots \vert A^{n-1}B]$, где $0 < r < n$. Тогда существует невырожденная матрица $T \in \mathbb{R}^{n \times n}$ такая, что $$\begin{gather*} y = Tx,\\ \dot{y} = \tilde{A} y(t) + \tilde{B} u(t), \end{gather*} \quad \begin{matrix} \tilde{A} = TAT^{-1},\\ \tilde{B} = TB, \end{matrix}$$

при этом $\rank [\tilde{B}_1 \vert \tilde{A}_{11} \tilde{B}_1 \vert \cdots \vert \tilde{A}_{11}^{r-1} \tilde{B}_1] = r$, где $$\tilde{A} = \begin{bmatrix} \tilde{A}_{11} && \tilde{A}_{12} \\ \bf 0 && \tilde{A}_{22} \end{bmatrix},\quad \tilde{B} = \begin{bmatrix} \tilde{B}_1 \\ \bf 0 \end{bmatrix},$$

а матрицы $\tilde{A}_{11}$ и $\tilde{B}_1$ имеют соответственно размерности $r \times n$ и $r \times m$.

Говоря простым языком, любую систему можно разложить так, что

$$y = \begin{bmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{bmatrix} \begin{array}{l} \left.\right\} r\text{ строк} \\ \left.\right\} n-r \text{ строк} \end{array}\ ,$$

при этом

$$\begin{aligned} & \dfrac{dy^{(1)}}{dt} = \tilde{A}_{11} y^{(1)} + \tilde{A}_{12} y^{(2)} + \tilde{B}_1 u(t) \text{ — полностью управляемая часть} \\ & \dfrac{dy^{(2)}}{dt} = \tilde{A}_{22} y^{(2)} \text{ — неуправляемая часть} \end{aligned} ,\ \text{где } \rank[\tilde{B}_1 \vert \tilde{A}_{11} \tilde{B}_1 \vert \cdots \vert \tilde{A}_{11}^{r-1} \tilde{B}_1] = r.$$

Если $r = n$, то система полностью управляема; если $r = 0$, то система неуправляема.

Для начала докажем вспомогательную лемму.

Вспомогательная лемма

Пусть $r = \rank[B \vert AB \vert \cdots \vert A^{n-1}B],\ L = \im [B \vert AB \vert \cdots \vert A^{n-1}B]$. Будем рассматривать систему $\eqref{syst_avt}$. Тогда $L$ инвариантно относительно системы $\eqref{syst_avt}$, то есть для любых начального момента $t_0$, начального положения $x^0 \in L$ и управления $u(\cdot)$ выполняется, что $x(t, t_0, x^0 \vert u(\cdot)) \in L \ \forall t\ \ge t_0$.

Доказательство. Выпишем формулу Коши: $$x(t, t_0, x^0 \vert u(\cdot)) = e^{A(t_1 - t)} x^0 + \int\limits_{t_0}^t e^{A(t - \tau)} B(\tau) u(\tau) d\tau.$$

Известно, что $\left< l, x^0 \right> = 0\ \forall l\in L^T$, то есть $\forall l \in L^T$ выполняется, что $l^T[B \vert AB \vert \cdots \vert A^{n-1}B] = \theta$. По индукции получаем, что $l^T A^k B = \theta \ \forall k\in \mathbb{N}\cup 0$. Таким образом $l^T e^{At} B = \theta$.

Рассмотрим $x^0 \in L$. В таком случае $x^0$ представим в виде линейной комбинации столбцов матрицы $[B \vert AB \vert \cdots \vert A^{n-1}B]$, то есть найдутся такие вектора $v^{(0)}, \dots, v^{(n-1)} \in \mathbb{R}^m$ такие, что $x^0 = Bv^(0) + \cdots + A^{n-1} B v^{(n-1)}$.

Домножим формулу Коши слева на $l^T$:

$$\begin{aligned} l^T x(t, t_0, x^0 \vert u(\cdot)) &= \sum\limits_{j=0}^{n-1} l^T e^{A(t - t_0)} A^j B v^{(j)} + \int\limits_{t_0}^{t_1} l^T e^{A(t-\tau)} B u(\tau) d\tau = \\ &= \sum\limits_{j=0}^{n-1} \sum\limits_{k=0}^{\infty} l^T \frac{A^k (t-t_0)^k}{k!} A^j B v^{(j)} + \int\limits_{t_0}^t \sum\limits_{k=0}^{\infty} l^T \frac{A^k (t-\tau)^k}{k!} B u(\tau) d\tau = \left\{ l^T A^k B = \theta \ \forall k\in\mathbb{N} \right\} = \theta. \end{aligned}$$

Таким образом получаем, что $x \in (L^\perp)^\perp = L$. $\blacksquare$

Доказательство теоремы о декомпозиции

Столбцы матрицы $T^{-1}$ таковы, что первые $r$ столбцов образуют базис $L$, а остальные образуют базис дополнения $L$ до $\mathbb{R}^n$.

Рассмотрим следующие блочные матрицы: $$\begin{bmatrix} \tilde{A}_{11} && \tilde{A}_{12} \\ \tilde{A}_{21} && \tilde{A}_{22} \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} \tilde{B}_1 \\ \tilde{B}_2 \end{bmatrix}$$ и докажем, что $\tilde{A}_{21} = 0,\ \tilde{B}_2 = 0$.

Рассмотрим систему $$\begin{equation} \label{syst_y} \left\{ \begin{aligned} & \dot{y}^{(1)}(t) = \tilde{A}_{11} y^{(1)}(t) + \tilde{A}_{12} y^{(2)} + \tilde{B}_1 u(t) \\ & \dot{y}^{(2)}(t) = \tilde{A}_{21} y^{(1)}(t) + \tilde{A}_{22} y^{(2)} + \tilde{B}_2 u(t). \end{aligned} \right. . \end{equation}$$

Она верна для любых начальных условий. Обозначим $y^{(1)}(t_0) = y^{(1),0}$, $y^{(2)}(t_0) = y^{(2),0}$.

Пусть $u \equiv 0,\ y^{(2),0} = 0,\ y^{(1),0}$ — произвольное. Тогда $$x(t_0) = T^{-1} y(t_0) = T^{-1} \begin{bmatrix} y^{(1),0} \\ 0 \end{bmatrix} \in L.$$

Таким образом получаем, что $x[t] \in L$.

Во второй строке $(6)$ при $t = t_0$ получаем, что $0 = \tilde{A}_{21} y^{(1),0} \ \forall y^{(1),0} \in \mathbb{R}^n$. Таким образом, $\tilde{A}_{21} = 0$.

Теперь система $(6)$ записывается в следующем виде:

$$\left\{ \begin{aligned} &\dot{y}^{(1)} = \tilde{A}_{11} y^{(1)}(t) + \tilde{A}_{21} y^{(2)}(t) + \tilde{B}_1 u(t) \\ &\dot{y}{(2)} = \tilde{A}_{22} y^{(2)}(t) + \tilde{B}_2 u(t) \end{aligned} \right.$$

Так как $x[t] \in L, x[t] = T^{-1} \begin{bmatrix} y^{(1)}[t] \\ y^{(2)}[t] \end{bmatrix}$, то $y^{(2)}[t] \equiv 0$. Вторая строка $(6)$ при $t = t_0$ выглядит следующим образом: $0 = 0 + \tilde{B}_2 u(t) \ \forall u(\cdot)$, то есть $\tilde{B}_2 = 0$.

Осталось доказать ранговое условие.

Так как $\tilde{B} = TB, \tilde{A}\tilde{B} = TAB, \dots, \tilde{A}^{n-1}\tilde{B} = TA^{n-1}B$, то $[\tilde{B} \vert \tilde{A}\tilde{B} \vert \cdots \vert \tilde{A}^{n-1}\tilde{B}] = T[B \vert AB \vert \cdots \vert A^{n-1}B]$, а значит $\rank [\tilde{B} \vert \tilde{A}\tilde{B} \vert \cdots \vert \tilde{A}^{n-1}\tilde{B}]$. Но так как $\tilde{A}_{21} = 0, \tilde{B}_2 = 0$, то $\rank [\tilde{B} \vert \tilde{A}\tilde{B} \vert \cdots \vert \tilde{A}^{n-1}\tilde{B}] = \rank [\tilde{B}_1 \vert \tilde{A}_{11}\tilde{B}_{1} \vert \cdots \vert \tilde{A}_{11}^{n-1}\tilde{B}_1]$, откуда получаем, что $\rank [B \vert AB \vert \cdots \vert A^{n-1}B] = r$. $\blacksquare$