Пространства интегрируемых функций

Пространство L₁

Определение

Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ определяется как пространство измеримых функций, интегрируемых по Лебегу: \begin{equation*} L_{1}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} f(x)d \mu < \infty, \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu < \infty \right\rbrace. \end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*} \Vert f \Vert = \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu, \forall f(x) \in L_{1}(X, \mu). \end{equation*}

Полнота пространства L₁

Введем в пространстве $$L_{1}(X, \mu)$$ расстояние (метрику): \begin{equation*} \rho (f, g) = \Vert f-g \Vert_{L_{1}}, \forall f(x), g(x) \in L_{1}(X, \mu). \end{equation*}

Теорема о полноте пространства $$L_{1}$$

Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ является полным, то есть любая фундаментальная последовательность является сходящейся.

Доказательство. Рассмотрим $$\lbrace f_{n}(x) \rbrace$$ --- фундаментальная последовательность функций из $$L_{1}$$:

\begin{equation*} \Vert f_{n}-f_{m} \Vert \rightarrow 0, \text{ при } n,m \rightarrow \infty. \end{equation*}

Тогда можно выделить такую подпоследовательность $$\lbrace f_{n_{k}}\rbrace$$, что: \begin{equation}\label{eq1} \Vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \Vert = \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \vert d\mu < \frac{1}{2^{k}}. \end{equation}

Рассмотрим новую последовательность функций $$\lbrace g_{m} \rbrace$$, которые определяются следующим образом:

\begin{equation*} g_{m} (x) = \vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + ... + \vert f_{n_{m}} (x) - f_{n_{m-1}} (x) \vert. \end{equation*}

Полученные функции $$g_{m}(x)$$ являются интегрируемыми, $$g_{m+1}(x) > g_{m}(x), \forall x \in X$$, и в силу (\ref{eq1}) справедливо: \begin{equation*} \int\limits_{X} g_{m}(x) d\mu \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + 1. \end{equation*}

Используя теорему Леви, получаем сходимость почти всюду ряда \begin{equation*} \vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) \vert + ... \end{equation*}

Тогда почти всюду сходится к некоторой функции и ряд без модулей \begin{equation*} f_{n_{1}} (x) + ( f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) ) + ( f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) ) + ... \Rightarrow \exists f(x) = \lim\limits_{k \rightarrow \infty} f_{n_{k}} (x). \end{equation*}

Докажем теперь, что подпоследовательность $$f_{n_{k}}$$ сходится в смысле метрики в $$L_{1}$$ (в среднем) к той же функции $$f(x)$$. Используя условие фундаментальности последовательности:

\begin{equation*} \forall \varepsilon > 0 \exists N: \forall k, l > N: \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}} (x) - f_{n_{l}} (x)\vert d\mu < \varepsilon. \end{equation*} А также теорему Фату, переходя к пределу при $$l \rightarrow \infty$$ получаем:

\begin{equation*} \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d\mu - \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \int\limits_{X} \vert f(x) - f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \varepsilon. \end{equation*}

Таким образом, функция $$f(x)$$ является интегрируемой и $$\lbrace f_{n_{k}} \rbrace$$ сходится к данной функции в среднем. Если фундаментальная последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой функции, то и сама последовательность сходится к ней, что и требовалось доказать.

Пространство L₂

Определение

Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ определяется как пространство функций, удовлетворяющих следующему условию: \begin{equation*} L_{2}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2}d \mu < \infty \right\rbrace. \end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*} \Vert f \Vert = \sqrt{\int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2} d \mu}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu). \end{equation*}

Скалярное произведение в пространстве $$L_{2}$$ определяется следующим образом: \begin{equation*} \langle f, g \rangle = \int\limits_{X} f(x) \overline{g(x)} d \mu, \forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu). \end{equation*}

Гильбертовость пространства $$L_{2}$$

Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ является гильбертовым.

Доказательство Норма пространства $$L_{2}$$ выражается через скалярное произведение (то есть является полным относительно метрики): \begin{equation*} \Vert f \Vert = \sqrt{\langle f(x), f(x) \rangle}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu). \end{equation*} Также, данное пространство является линейным, так как $$\forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu), \forall \alpha, beta \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha f(x) + \beta g(x) \in L_{2}(X, \mu)$$.

Таким образом, $$L_{2}(X, \mu)$$ является гильбертовым пространством по определению.

Пространство L_p

Определение

Пусть p ≥ 1. Рассмотрим множество функций Lp(X,μ), интегрируемых в степени p (без модуля и с модулем). \[\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p},p \geqslant 0.\]

Теорема (о неравенстве Гёльдера для интегралов）

Для любых функций \(f(x) \in L_p(X, \mu)\) и \(g(x) \in L_q(X, \mu)\), где \(p,q > 1\) и \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\), справедливо неравенство:

\[\left|\int\limits_X f(x)g(x)d\mu\right| \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}.\]

Доказательство. Разобьём доказательство на несколько шагов:

1. Тривиальный случай: Если \(\|f\|_{L_p} = 0\) или \(\|g\|_{L_q} = 0\), то неравенство очевидно выполняется, так как левая часть будет равна нулю.

2. Основной случай: Для случая, когда нормы отличны от нуля, введем вспомогательные функции:

\[F = \frac{|f|}{\|f\|_{L_p}}, \quad G = \frac{|g|}{\|g\|_{L_q}}.\]

Используя предыдущую лемму, получаем:

\[\int\limits_X FGd\mu \leqslant \int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu + \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu.\]

Подставляя определения F и G, получаем: \[\int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu = \frac{1}{p}, \quad \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu = \frac{1}{q}.\]

Следовательно: \[\int\limits_X FGd\mu \leqslant \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.\]

Возвращаясь к исходным функциям:

\[\left|\int\limits_X fgd\mu\right| \leqslant \int\limits_X |fg|d\mu = \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q} \cdot \int\limits_X FGd\mu \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}.\]

Что и требовалось доказать.

Теорема (о неравенстве Минковского для интегралов)

Для измеримых функций \(f, g \in L_p(X,\mu)\), где \(p \geqslant 1\), справедливо неравенство:

\[\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}.\]

то есть:

\[\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p d\mu\right)^{1/p} \leqslant \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} + \left(\int\limits_X |g(x)|^p d\mu\right)^{1/p}.\]

Замечание. Неравенство Минковского является аналогом неравенства треугольника для \(L_p\)-норм и показывает, что пространство \(L_p\) является нормированным.

Доказательство.

Сначала докажем неравенство:

\[|f + g|^p \leqslant (|f| + |g|)^p \leqslant (2\max\{|f|, |g|\})^p \leqslant 2^p(|f|^p + |g|^p).\]

Следовательно, \(|f + g|^p\) интегрируема, а значит \(f + g \in L_p(X, \mu)\).

\[\|f + g\|^p_{L_p} = \int\limits_X |f + g|^p d\mu \leqslant \int\limits_X |f + g|^{p-1}(|f| + |g|)d\mu = \int\limits_X |f| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu + \int\limits_X |g| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu.\]

Применяя неравенство Гёльдера с показателями \(p\) и \(q\), где \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\), получаем:

\[\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q} + \|g\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q}.\]

Поскольку \((p-1)q = p\), имеем:

\[\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p} + \|g\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p}.\]

\[\Rightarrow \|f + g\|^{p-p/q}_{L_p} = \|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}.\]

Что и требовалось доказать.

L_p свойства

1. (Неотрицательность и определенность): \[\|f\|_{L_p} \geqslant 0, \forall f; \|f\|_{L_p} = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0\] почти всюду

2. (Однородность): \[\|cf\|_{L_p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}.\]

3. (Неравенство треугольника): \[\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}.\]

Доказательства свойств

Замечание. Для доказательства неравенства треугольника потребуется неравенство Гёльдера для интегралов и неравенство Минковского для интегралов.

1. Доказательство неотрицательности и определенности:

а) Неотрицательность \(\|f\|_{L_p} \geqslant 0\) следует из определения: \[\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p}.\] Так как \(|f(x)|^p \geqslant 0\) и мера \(\mu\) неотрицательна, то интеграл неотрицателен, и после возведения в степень \(1/p\) результат также неотрицателен.

б) Для доказательства второй части:

• "\(\Rightarrow\)": Если \(\|f\|_{L_p} = 0\), то \(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu = 0.\). Поскольку подынтегральная функция неотрицательна, это возможно только если \(f(x) = 0\) почти всюду.
• "\(\Leftarrow\)": Если \(f(x) = 0\) почти всюду, то очевидно \(\|f\|_{L_p} = 0.\)

2. Доказательство однородности:

\[\|cf\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |cf(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = \left(\int\limits_X |c|^p|f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c|\left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}.\]

3. Доказательство неравенства треугольника:

Это неравенство уже доказано в теореме(о неравенстве Минковского для интегралов).

Замечание. Эти три свойства показывают, что \(\|\cdot\|_{L_p}\) действительно является нормой на пространстве \(L_p(X,\mu)\).

Полнота пространства L_p

Теорема

Пусть \(\mu(X) < \infty\). При любом \(p > 1\) пространство \(L_p(X,\mu)\) является полным.

Доказательство

Пусть последовательность функций \(f_n(x) \in L_p(X,\mu)\) фундаментальная в смысле нормы пространства \(L_p(X,\mu)\):

\[\|f_n - f_m\|_{L_p} \to 0, \text{ при } n, m \to \infty.\]

Докажем, что существует функция \(f(x) \in L_p(X,\mu)\) такая, что \(f_n(x) \to f(x)\) в смысле нормы пространства \(L_p(X,\mu)\).

\[\int\limits_X |f_n - f_m| \cdot 1d\mu \leq \|f_n - f_m\|_{L_p(X,\mu)} \cdot (\mu(X))^{1/q}.\]

Следовательно, последовательность \(\{f_n\}\) фундаментальна в \(L_1(X,\mu)\). Из теоремы о полноте \(L_1(X,\mu)\) следует, что

\[\exists\{f_{n_k}\}: f_{n_k} \to f \in L_1(X,\mu)\] почти всюду на \( X \), \(k = 1,2,3,...\)

Тогда:

\[|f_{n_k} - f_m|^p \to |f_{n_k} - f|^p, \text{ при } n_l \to \infty, \int\limits_X |f_{n_k} - f_m|^p d\mu < \varepsilon.\]

Следовательно, по теореме Фату, \(|f_{n_k} - f|^p\) - интегрируема на \( X \) и

\[\int\limits_X |f_{n_k} - f|^p d\mu \leq \varepsilon, \forall n_k \geq N, \Rightarrow f_{n_k} \to f \text{ в } L_p(X,\mu).\]

\[|f| \leq |f_{n_k}| + |f - f_{n_k}| \Rightarrow |f|^p \leq 2^p(|f_{n_k}|^p + |f - f_{n_k}|^p) \Rightarrow f \in L_p(X,\mu).\]

Следовательно, и исходная последовательность сходится к \( f \) в смысле нормы пространства \(L_p(X,\mu)\)

Сопряжённое пространство L_p

1. Общий случай (\(1 < p < \infty\)):

• Для конечной меры \(\mu(X) < \infty\), сопряжённое пространство \(L_p(\mu)\) естественно изоморфно \(L_q(\mu)\), где \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.\)
• Изоморфизм \(\kappa_p : L_q(\mu) \to L_p(\mu)^*\) определяется как\[\kappa_p(g)(f) = \int fg\,d\mu.\]

2. Особые случаи:

• При \(p = 1\): для конечной меры \(\mu\), сопряжённое пространство \(L_1(\mu)\) изометрически изоморфно \(L_\infty(\mu)\)
• При \(p = \infty\): для конечной меры, сопряжённое пространство \(L_\infty(\mu)\):
  • Изометрически изоморфно пространству ограниченных знакопеременных мер, абсолютно непрерывных относительно \(\mu\)
  • В случае конечной меры, существует вложение \(L_1(\mu) \hookrightarrow (L_\infty(\mu))^*\)

Вложение пространств L_p при конечной мере

Пусть \(\mu(X) < \infty\) (случай конечной меры).

Тогда для \(1 \leqslant p < q \leqslant \infty\) имеет место вложение: \[L^q(X,\mu) \subset L^p(X,\mu).\]

Более того:

• Оператор вложения непрерывен, т.е. существует константа \(C > 0\) такая, что:

\[\|f\|_p \leqslant C\|f\|_q.\]

• Равенство достигается при \(f = 1\) почти всюду.

Замечание. При конечной мере пространства с большим показателем вложены в пространства с меньшим показателем, т.е.: \[L^\infty \subset L^q \subset L^p \subset L^1.\]

Список литературы

1. Точилин П. А. Семинарские занятия по функциональному анализу, 2023г.

2. Моисеев Е. И. Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.