Множество достижимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки

Внешние оценки множества разрешимости позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют внутренние оценки которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

Постановка задачи

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи: \begin{equation} \label{1} \begin{cases} \dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\ x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\ u(t) \in \mathcal{P}(t), \end{cases} \end{equation} где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются эллипсоидами: \[ \mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n, \] \[ \mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m. \] Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

Эллипсоидные свойства

Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

Замечание 1

Т.к.  выпуклое множество однозначно определяется своей  опорной функцией, то  эллипсоид с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:

\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

Утверждение 1

 Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:

\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

Доказательство

Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их опорных функций: \[ \rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l \rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')). \]

Внешняя оценка для суммы эллипсоидов

Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\) \[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (p_i, Q_i), p_i > 0\] Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где \[ Q_+ = \left(p_1 + ... + p_m \right) \left(\frac{Q_1}{p_1} + ... + \frac{Q_m}{p_m} \right)\] \[p_+ = \sum \limits_{i=1}^m p_i\]

Действительно, \[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m p_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{p_j}{p_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m p_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \] Отсюда следует \[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(p_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \] Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( p_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

Оценка множества разрешимости

Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши: \[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\] где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[ \left\{\begin{aligned} & \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\ & X(\tau,\tau) = I. \end{aligned}\right. \]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим: \[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \] \[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N}] \). Тогда интегральная сумма примет вид \[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку: \begin{equation} \mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\ Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right), \label{Q_plus} \end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями: \begin{equation} p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2}, \label{p1} \end{equation} \begin{equation} p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}. \label{ptau} \end{equation}

Оптимизация вычислений внешней оценки

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами: \[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\] \[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\] \[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену: \[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются: \[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\] \[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

Построение внешней оценки

Обозначим: \[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\] \[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в: \[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение: \[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\] \[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\] \[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \] \[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\] \[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \] \[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим: \begin{equation} \begin{cases} & \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\ & Q_+(t_1) = X_1. \label{u3} \end{cases} \end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений: \begin{equation} \begin{cases} \dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\ \dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\ \tilde{A}(t_1) = p_1, \\ \tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}. \label{u2} \end{cases} \end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой: \begin{equation} \begin{cases} \label{u1} \dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\ X(\tau,\tau) = I. \end{cases} \end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):