Выпуклые конусы и их свойства

Будем рассматривать произвольное векторное пространство \(V\) над некоторым полем чисел \(\mathcal{F}\), в котором существует понятие "положительного" числа. Примерами таких полей являются рациональные числа \(\mathbb{Q}\) или вещественные числа \(\mathbb{R}\).

Определение

Множество \(C \subseteq V\) называется выпуклым конусом, если для любых векторов \(x, y \in C\) и положительных скаляров \(\alpha, \beta \in \mathcal{F}\) справедливо включение \(\alpha x + \beta y \in C\).

Как видно из определения, любое собственное подпространство \(V' \subset V \) и само пространство \(V\) являются выпуклыми конусами. Также будем полагать, что пустое множество \(\varnothing\) является выпуклым конусом.

Свойства

1. Если \(C\) — выпуклый конус, то \(C \cup \{ \mathbb{0} \}\) также является выпуклым конусом.
2. Выпуклый конус является выпуклым множеством.
3. Если \(C\) — выпуклый конус, то \(\overline{C}\) и \(\operatorname{int} C\) также являются выпуклыми конусами.
4. Любой выпуклый конус, содержащий хотя бы один ненулевой вектор, является неограниченным множеством.
5. Класс выпуклых конусов замкнут относительно любых линейных отображений.
6. Если \(C_i, i \in I\) — выпуклые конусы, то \(\bigcap_{i \in I} C_i\) также является выпуклым конусом, то есть выпуклые конусы образуют замкнутое семейство по операции пересечения.
7. Выпуклый конус может иметь не более одной крайней точки, которая может быть только его вершиной (нулевой вектор).

Связанные понятия

Первое свойство позволяет корректно определить размерность лезвия произвольного непустого \(C\) — \(\operatorname{dim} ((C \cap -C) \cup \{ \mathbb{0} \}).\)

В случае, если конус \(C\) замкнут, очевидно включение \(\mathbb{0} \in C\), но если конус \(C\) открыт, то множество \(C \cap -C\) может быть пустым, и, как следствие, не быть векторным пространством. Если \(C \cap -C\) непусто, то его принято называть наибольшим линейным пространством, содержащимся в \(C\), или лезвием.

Если \(\mathbb{0} \not\in C\), то конус \(C\) называется заострённым, а в противном случае — затупленным. В литературе иногда такие конусы называются острыми и тупыми соответственно, однако данные термины используются и для определения других свойств замкнутых конусов в зависимости от контекста.

Выпуклый конус называется замкнутым, если он замкнут как множество.

Замкнутый выпуклый конус называется острым, если он имеет тривиальное лезвие \(\{ \mathbb{0}\}\), и тупым в противном случае. Заметим, что для замкнутых выпуклых конусов понятие лезвия корректно определено, поскольку \(\mathbb{0} \in C \cap -C\).

Аналогичное определение можно ввести, используя понятие размерности лезвия: замкнутый выпуклый конус называется острым, если он имеет нулевую размерность лезвия, и тупым в противном случае. В литературе такие конусы иногда называют выступающими(строго выпуклым) и плоскими соответственно.

Примеры

• Тривиальными примерами выпуклых конусов являются подпространства \(V\), а также пустое множество \(\varnothing\).
• Коническая оболочка набора векторов: пусть \(S = \{ x_i\} \subset V\) — конечный или бесконечный набор векторов из \(V\). Тогда их коническая оболочка \(\operatorname{cone} S = \{ \sum_i \alpha_i x_i: x_i \in S, \alpha_i \in \mathbb{R}_+ = \{ x \in \mathbb{R}: x \geqslant 0\}\}\) есть множество всевозможных конических комбинаций векторов из набора.

• Конус нормы в \(\mathbb{R}^n\) \(C_{||\cdot ||} = \{ (x, r) \in \mathbb{R}^{n+1}: ||x|| \leqslant r\}.\)

• Коническая оболочка произвольного множества — наименьший выпуклый конус, содержащий заданное множество.

Литература

1. Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — ФИЗМАТЛИТ, 2007.