Управляемость линейной системы

Будем рассматривать систему \begin{equation}\label{syst} \dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t), \quad t \in [t_0, t_1], \end{equation} где $$x \in \mathbb{R}^{n}$$ — вектор фазового состояния, $$u \in \mathbb{R}^m$$ — вектор управлений.

Пусть наша система движется из положения $$x(t_0) = x^0$$ и должна попасть в положение $$x(t_1) = x^1$$, при этом мы минимизируем следующий функционал:

\[ J[u(\cdot)] = \lVert u(\cdot) \rVert = \left( \int\limits_{t_0}^{t_1} \lVert u(t) \rVert^2 dt \right)^\frac{1}{2} \to \min. \]

Определение

Система \eqref{syst} называется полностью (или вполне) управляемой на $$[t_0, t_1],\ t_0 < t_1$$, если для любых $$x^0, x^1 \in \mathbb{R}^n$$ существует такое управление $$u(\cdot)$$, что $$x(t_1, t_0, x^0 \colon u(\cdot)) = x^1$$ или $$x(t_0, t_1, x^1 \colon u(\cdot)) = x^0$$.

То есть под действием этого управления траектория, выпущенная в момент времени $$t_0$$ из точки $$x^0$$, в момент времени $$t_1$$ будет в состоянии $$x^1$$ (или же наоборот, если мы пускаем траектории из конечного состояния в обратном времени).

Задача моментов

Найдём условия на $$u(\cdot)$$, чтобы $$x(t_0) = x^0,\ x(t_1) = x^1$$. Для этого выпишем формулу Коши:

\[ x^1 = X(t_1, t_0) x^0 + \int\limits_{t_0}^{t_1} X(t_1, t) \left( B(t) u(t) + f(t) \right) dt. \]

Перенесём все слагаемые, содержащие $$u(t)$$ в одну сторону.

\[ \int\limits_{t_0}^{t_1} X(t_1, t) B(t) u(t) dt = x^1 - X(t_1, t_0) x^0 - \int\limits_{t_0}^{t_1} X(t_1, t) f(t) dt. \]

Введём обозначения: \begin{equation}\label{matrH} H(t_1, t) = X(t_1, t) B(t). \end{equation} За $$c \in \mathbb{R}^n$$ обозначим правую часть этого равенства. Получим задачу моментов:

\begin{equation}\label{zm} \int\limits_{t_0}^{t_1} H(t_1, t) u(t) dt = c. \end{equation}

Критерий полной управляемости

Система \eqref{syst} - полностью управляема тогда и только тогда, когда $$\forall l \neq \theta$$ выполняется $$H^T(t_1, t) l \not \equiv 0$$.

Доказательство.

Необходимость. Предположим противное: пусть существует $$l \neq \theta$$ такое, что $$H^T(t_1, t) l \equiv 0$$. Транспонируем это равенство: $$l^T H(t_1, t) \equiv 0$$. Так как система управляема, то выполняется задача моментов \eqref{zm}, то есть для любого $$c \in \mathbb{R}^n$$ найдётся $$u(\cdot)$$ такое, что $$\int\limits_{t_0}^{t_1} H(t_1, t) u(t) dt = c$$. Домножим обе части этого равенства на $$l^T$$.

\[ \int\limits_{t_0}^{t_1} l^T H(t_1, t) u(t) dt = l^T c. \]

Легко видеть, что левая часть этого равенства равна нулю (т.к. $$l^T H(t_1, t) \equiv 0$$), а правая строго больше нуля. Пришли к противоречию. Значит наше предположение неверно, то есть $$H^T(t_1, t) l \not \equiv 0 \ \forall l \neq \theta$$.

Достаточность. Пусть $$H^T(t_1, t) l \not \equiv 0$$. Найдём тогда управление, которое решает поставленную задачу.

Рассмотрим $$W(t_1, t_0) = \int\limits_{t_0}^{t_1} H(t_1, t) H^T(t_1, t)$$ — матрица управляемости

Рассмотрим $$l \in \ker W$$, то есть такие $$l$$, что $$H^T(t_1, t) l \equiv 0$$. По предположению это выполняется только если $$l = \theta$$, то есть $$\ker W = \{ \theta \}$$. Это значит, что определитель матрицы $$W$$ не равен нулю.

Теперь зафиксируем произвольные $$x^0,\ x^1$$. Рассмотрим $$u(t) = H^T(t_0, t) W^{-1} c$$ — это и будет искомое управление. $$\blacksquare$$

Следствия.

• Система \eqref{syst} полностью управляема тогда и только тогда, когда определитель матрицы управляемости $$W(t,t_0)$$ равен нулю.
• Если \eqref{syst} вполне управляема на $$[t_0, t_1]$$, то система \eqref{syst} вполне управляема на $$[t'_0, t'_1]$$ для произвольных $$t'_0 \le t_0,\ t'_1 \ge t_1$$

Теорема Калмана

Рассмотрим ещё один критерий полной управляемости для автономных систем, то есть у которых $$A = \mathrm{const},\ B = \mathrm{const}$$. Сначала сформулируем вспомогательное утверждение.

Теорема Гамильтона-Кэли. Пусть матрица $$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$$ — постоянная матрица, а $$\chi_A(\lambda) = |A - \lambda I| = c_0 + c_1 \lambda + \dots + c_{n-1} \lambda^{n-1} + c_n \lambda^n$$ — её характеристический многочлен. Тогда $$\chi_A(A) = c_0 I + c_1 A + \dots + c_n A^n = 0$$.

И выделим важное, но очевидное следствие из этой теоремы: найдутся такие числа $$\alpha_0,\ \alpha_1, \dots,\ \alpha_{n-1}$$, что \begin{equation}\label{cons} A^n = \alpha_0 I + \alpha_1 A + \dots \alpha_{n-1} A^{n-1}. \end{equation}

Теперь мы можем приступить к формулировке и доказательству теоремы Калмана.

Теорема Калмана. Система \eqref{syst} полностью управляема тогда и только тогда, когда $$\rank [B \vert AB \vert \dots \vert A^{n-1} B] = n$$.

Обозначим матрицу $$[B \vert AB \vert \dots \vert A^{n-1} B] \in \mathrm{R}^{n \times mn} = C$$.

Доказательство. Будем доказывать, что система \eqref{syst} не вполне управляема тогда и только тогда, когда $$\rank C < n$$. Необходимость. Пусть система не вполне управляема. Тогда по критерию полной управляемости найдётся такой вектор $$l \neq \theta$$, что $$l^T H(t_1, t) = 0$$. Из \eqref{matrH} и связи матрицы Коши и матричной экспоненты получаем, что $$l^T e^{A(t_1 - t)} B \equiv 0$$. Продифференцируем последнее равенство $$n-1$$ раз по $$t$$. Учтём, что экспонента и матрица перестановочны:

\begin{gather*} -l^T e^{A(t_1 - t)} A B = 0; \\ \vdots \\ (-1)^{n-1} l^T e^{A(t_1 - t)} A^{n-1} B = 0. \end{gather*}

Зафиксируем произвольное $$t \in (t_0, t_1)$$ и рассмотрим $$\tilde{l} = \left( e^{A(t_1-t)} \right)^T l$$. Очевидно, что $$\tilde{l} \neq 0$$, так как матрица $$e^{A(t_1 - t)}$$ — невырожденная. Тогда $$\tilde{l}^T B = \theta, \ \tilde{l}^T AB = \theta, \ \cdots,\ l^T A^{n-1} B = \theta$$. В таком случае получаем, что $$\tilde{l}^T C = \theta$$, то есть $$\rank C < n$$.