Множество достижимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки

Внутренние множества достижимости позволяют аппроксимировать это множество "изнутри", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют внешние оценки которые позволяют аппроксимировать множество "снаружи".

Общий вид системы

Дана линейная система дифференциальных уравнений без помехи: \begin{equation} \label{1} \begin{cases} \dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\ x(t) \in \mathcal{X}, \\ u(t) \in \mathcal{P}(t) \end{cases} \end{equation} Где \(\mathcal{P}(t)\) - непрерывное по Хаусдорфу многозначное отображение, \(\mathcal{P}(t) \subset conv\mathbb{R}^n; A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1], x \in \mathbb{R}^n, \ X \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m} \). При этом многозначные отображения: \(\mathcal{X}\) и \(\mathcal{P}(t)\) - эллипсоиды: \[ \mathcal{X} = \mathcal{E}(x, X) \subset \mathbb{R}^n, \] \[ \mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m. \]

Эллипсоиды

В данном разделе даются необходимые определения и утверждения без доказательств, которые необходимы для решения соответствующей задачи. Основную информацию можно найти в основной статье.

Утверждение 1

  Выпуклое множество однозначно определяется своей  опорной функцией

Утверждение 2

  Эллипсоид с центром в точке q и матрицей Q в m-мерном вещественном пространстве можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:

\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^m \:|\: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

Утверждение 3

 Для любого эллипсоида с центром в q, матрицей Q, и для любой матрицы A, такой что число ее столбцов совпадает с числом строк Q, выполнено тождество:

\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA^{T}).\]

Теорема 1

 Для  суммы эллипсоидов можно получить внутреннюю эллипсоидальную оценку следующего вида:

\[ \sum\limits^n_{i=1} \mathcal{E}(q_i, Q_i) = \bigcup_{\parallel l \parallel = 1} \mathcal{E}_-(l), \] где \(\mathcal{E}_-(l) = \mathcal{E}(q_i, Q_-)\) — эллипсоид, построенный в направлении \(l\), с центром в \(q_i\) и матрицей \(Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)\), где \(Q_*(t) = \sum_{i=1}^n S_i(t) Q_i^\frac{1}{2}(t)\), а \(S_i(t)\) — некоторые ортогональные матрицы.

Внутренние эллипсоидальные оценки интеграла от многозначного отображения

Построим внутреннюю эллипсоидальную оценку интеграла от многозначного отображения, где в качестве образа выступает эллипсоид.

Получим эллипсоидальную оценку для суммы двух эллипсоидов.

Пусть даны эллипсоды: \(\mathcal{E_{1}}(0, Q_{1})\) и \(\mathcal{E_{2}}(0, Q_{2})\), где \(Q_{1}\) и \(Q_{2}\) - некоторые положительно определенные матрицы(случай невырожденных эллипсоидов).

Хотим найти \(\mathcal{E}\): \(\mathcal{E} \subseteq \mathcal{E_{1}}\) + \(\mathcal{E_{2}}\).

Введем обозначение: \( S[n] = (S_{1}, ... , S_{n}) \).

В качестве \(Q_-\) рассмотрим следующую матрицу: \(Q_-(S[2]) = (S_{1}Q^{1\2}_{1} + S_{2}Q^{1/2}_{2})^{'}(S_{1}Q^{1/2}+S_{2}Q^{1/2}_{2})\), где \(S_{1}\) и \(S_{2}\) - ортогональные матрицы: \(S'S\ = SS' = I\), \(I\) - единичная матрица. \(Q^{1/2}\) - квадратный корень из матрицы: у неотрицательно определенной матрицы \(Q\) \(\exists!\) квадратный корень, то есть симметричная матрица \(Q = Q^{1/2}Q^{1/2}\).

Покажем, что эллипсоид \(\mathcal{E_-}(0, Q_-) \) является внутренним по отношению к сумме \(\mathcal{E_{1}} + \mathcal{E_{2}}\), для этого оценим опорную функцию эллипсоида \(\mathcal{E_-}\).

\[ \mathcal{p^{2}}(l|\mathcal{E_-}(0, Q_-)) = \langle l, (S_{1}Q^{1/2}_{1} + S_{2}Q^{1/2}_{2})'(S_{1}Q^{1/2}_{1} + S_{2}Q^{1/2}_{2})l \rangle = \langle l, Q_{1}l \rangle + \langle l, Q_{2}l \rangle + \langle S_{1}Q^{1/2}_{1}l, S_{2}Q^{1/2}_{2}l \rangle \leq \] в силу неравенства Коши-Буняковского: \[ \leq \langle l, Q_{1}l \rangle + \langle l, Q_{2}l \rangle + 2 \langle l, Q_{1}l \rangle ^{1/2} \langle l,Q_{2}l \rangle ^{1/2} = (\langle l, Q_{1}l \rangle ^{1/2} + \langle l, Q_{2}l \rangle ^{1/2})^{2} = \mathcal{p^{2}}(l| \mathcal{E_{1}} + \mathcal{E_{2}}) \]

Заметим, что для \(l\) \(\neq\) \(0\) равенство достигается тогда и только тогда, когда аргументы скального произведения являются линейно зависимыми и сонаправленными, то есть: \(S_{1}Q^{1/2}_{1}l = \lambda S_{2}Q^{1/2}_{2}l \), где \(\lambda > 0\).

В силу того, что мы можем повернуть вектор \(Q^{1/2}l\) на любой угол, для любого \(l\) всегда можно выбрать такую матрицу \(S\), что в неравенстве для опорных функций будет выполняться равенство и, следовательно, существует точка, в которой будет происходить касание эллипсоидов в силу вложенности одного множества в другое.

В случае \(m\) эллипсоидов поступим по аналогии: \[ Q_-(s[m]) = (\sum_{k=1}^{m} S_{k}Q^{1/2}_{k})'(\sum_{k=1}^{m} S_{k}Q^{1/2}_{k}). \]

Тогда справедливо следующее вложение: \(\mathcal{E_-}(0, Q_-) \subseteq \sum_{k=1}^{m} \mathcal{E_{k}}(0, Q_{k}) \). Обоснование проводится с помощью опорной функции: \[ \mathcal{p^{2}}(l|\mathcal{E_-}(0, Q_-)) = \langle l, (\sum_{k=1}^{m} S_{k}Q^{1/2}_{2})^{1/2}(\sum_{k=1}^{m} S_{k}Q^{1/2}_{2})l \rangle = \sum_{k=1}^{m} \langle l, Q_{k}l \rangle + 2 \sum_{k=1}^{m-1} \sum_{s = k+1}^{m} \langle S_{k}Q^{1/2}_{2}l, S_{s}Q^{1/2}_{s}l \rangle \leq \] в силу неравенства Коши-Буняковского: \[ \leq \sum_{k=1}^{m} \langle \ Q_{k}l \rangle + 2 \sum_{k=1}^{m-1} \sum_{s = k+1}^{m} \langle l Q_{k}l \rangle ^{1/2} \langle l, Q_{s}l \rangle ^{1/2} = (\sum_{k=1}^{m} \langle l, Q_{k}l \rangle ^{1/2})^{2} = \mathcal{p^{2}}(l| \sum_{k=1}^{m} \mathcal{E_{k}}) \]

Имеет место следующее включение: \( \forall r =2,3...\) \(\sum_{k=1}^{r} \mathcal{E_{k}}(0, Q_{k}) = \bigcup_{S[r]} \mathcal{E_- (0, Q_-(S[r]))} \)

центрированность эллипсоидов не является ограничением. Так, если: \(\mathcal{E_{k}(q_{k}, Q_{k})}_{k=1}^{m}\), то в качестве аппроксимирующего эллипсоида надо взять \( \mathcal{E_-}(q_-, Q_-) \), где \(q_- = \sum_{k=1}^{m} q_{k} \). Полученные результаты будут справедливы и в общем случае.

Перейдем к оценке для интеграла: \[ I = \mathcal{E}(q_{0}, Q_{0}) + \int_{t_{0}}^{t} \mathcal{E}(q(\tau), Q(\tau))d\tau \] Для аппроксимации интеграла оценим частичную интегральную сумму: \[ I(N) = \mathcal{E}(q_{0}, Q_{0}) + \sum_{k=1}^{N} \delta _{k} \mathcal{E}(q(\tau_{k}), Q(\tau_{k})), \] где \(\delta_{k} = \tau_{k} - \tau_{k-1}, k = 1,...,N \). Если отображения \(q(\tau)\) и \(Q(\tau) \) непрерывные, то суммы частичного ряда сойдутся к значению интеграла. Очевидно также, что следует ожидать сходимости и аппроксимирующий эллипсоидов для интегральных сумм, то есть: \(q_-(N) \to q_-, Q_-(N) \to Q_-\) при \(N \to \infty \).

Далее будем рассматривать только равномерные сетки. Получим формулы для центра и матрицы аппроксимирующего эллипсоида:

\[ q_-(N) = q_{0} + \delta \sum_{k=1}^{N} q(\tau_{k}) \]

\(Q_-(N) = Q'^{*}_{N}Q^{*}_{N},\)

где \(Q^{*}_{N} = S_{0}Q^{1/2}_{0} + \delta \sum_{k=1}^{N} S_{k} Q^{1/2}(\tau_{k}) \).

Равенство опорных функций достигается тогда и только тогда, когда: \[ S_{k}Q^{1/2}(\tau_{k})l = \lambda_{k}S_{0}Q^{1/2}_{0}l , \lambda_{k} > 0. \]

Переходя к пределу, получим интегральное выражение для центра аппроксимирующего эллипсоида: \[ q_- = q_{0} + \int_{t_{0}}^{t} q(\tau)d\tau, \] а для его матрицы:

\[ Q_- = Q'^{*}Q^{*}, \]

где \( Q^{*} = (S_{0}Q^{1/2}_{0} + \int_{t_{0}}^{t} S(\tau)Q^{1/2}(\tau)d\tau). \)

Выбором \(S_{0}\) и \(S(\tau)\) из соотношений: \[ S(\tau)Q^{1/2}(\tau)l = \lambda(\tau)S_{0}Q^{1/2}_{0}l, \lambda(\tau) > 0 \forall \tau \in [t_{0}, t] \] мы всегда можем добиться касания.

Полученные выше интегральные уравнения для \(q_-\) и \(Q_-\) могут быть сведены к задаче Коши: \[ \begin{equation} \begin{cases} \dot q_- (t) = q(t), \\ q_-(t_{0}) = q_{0} \end{cases} \end{equation} \]

\[ \begin{equation} \begin{cases} \dot Q_-(t) = \dot Q'^{*}(t) Q^{*}(t) + Q'^{*}(t)\dot Q^{*}(t), \\ Q_-(t_{0}) = Q_{0}. \end{cases} \end{equation} \]

А \(Q^{*}\) может быть найдено из следующего уравнения: \[ \begin{equation} \begin{cases} \dot Q^{*}(t) = S(t)Q^{1/2}(t), \\ Q^{*}(t_{0}) = S_{0}Q^{1/2}_{0}. \end{cases} \end{equation} \]

Внутренняя оценка для множества достижимости

Рассматривается следующая задача динамики: \begin{equation} \label{2} \begin{cases} \dot x = Ax + u, \\ x(t_0) \in \mathcal{E}_0(x_0, X_0), \\ u(t) \in \mathcal{E}(p(t), P(t)). \end{cases} \end{equation} Нам нужно найти внутреннюю оценку для множества достижимости, которое представимо в виде: \[ \mathcal{X[t]} = X(t,t_0)\mathcal{E_0}(x_0, X_0) + \int^{t}_{t_0}X(t, \tau)\mathcal{E}(p(\tau), \mathcal{P}(\tau)d{\tau} = \mathcal{E_0}(x_0, X(t, t_0)X_0X(t, t_0)^{T}) + \int^{t}_{t_0} \mathcal{E}(p(\tau), X(t, \tau)\mathcal{P}(\tau)X(t, \tau)^{T})d\tau \] Для системы \eqref{1} справедлива формула Коши: \[ x(t,t_0,x_0) = X(t,t_0)x_0 - \int^{t}_{t_0}X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau, \] Где \(X(t,\tau)\) - фундаментальная матрица, удовлетворяющая системе: \[ \left\{\begin{aligned} & \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\ & X(\tau,\tau) = I. \end{aligned}\right. \] Тогда для матриц аппроксимирующего эллипсоида: \[ X\_ = (Q^{*})^{T}Q^{*}, где Q^{*} = (S_0(X_{0})^{1/2}(X(t, t_{0}))^{T} + \int^{t}_{t_0} \mathcal{S}(\tau)P^{1/2}(\tau)X(t, \tau)^{T}d\tau) \] Касание достигается в случае: \begin{equation} \label{3} \mathcal{S}(\tau)P^{1/2}(\tau)X(t, \tau)^{T}l(t) = \lambda(\tau)\mathcal{S_0}(X_{0})^{1/2}X(t, t_0)^{T}l(t), где \lambda(\tau) > 0, \forall \tau \in [t_0,t] \end{equation} В полученном равенстве у нас есть зависимость от t и \(\tau\): \[ \mathcal{S}(\tau) = \mathcal{S_t}(\tau), \lambda(\tau) = \lambda_{t}(\tau). \] Следовательно, мы не можем для фиксированного \(l\) построить хорошей оценки, так как для каждого отдельного \(t\) нам нужно будет делать пересчет, что влечет за собой большую вычислительную мощность. Сделаем особое преобразование для \(l(t)\): \[ l^{*}(t) = X(t_0,t)^{T}l_0 \] Подаставим это выражение в \eqref{3}: \[ \mathcal{S_t}(\tau)(P(\tau))^{1/2}X(t, \tau)^{T}X(T_0, t)^{1/2}l_{0} = \lambda_{t}(\tau)\mathcal{S_0}X_{0}^{1/2}(X(t, t_0))^{T}(X(t_0,t)^{T})l_0 \]

\[ \mathcal{S_t}(\tau)P^{1/2}(\tau)X^{T}(t_0, \tau)l_0 = \lambda_{t}(\tau)\mathcal{S_0}X^{1/2}_{0}l_{0} \]

Таким образом, в последнем равенстве у нас пропала зависимость от \(t\), следовательно, мы можем перейти к задаче Коши, которая допускает численное решение: \begin{equation} \begin{cases} \dot q\_(t) = Aq(t) \\ q\_(t_0) = q_{0} \end{cases} \end{equation}

\begin{equation} \begin{cases} \dot X \_ (t) = (\dot Q^{*}(t))^{T}(Q^{*}(t)) +(Q^{*}(t))^{T}(\dot Q^{*}(t)) \\ X\_(t_0) = X_0 \end{cases} \end{equation}

Матрица \(Q^{*}\) находится из следующей системы уравнений: \begin{equation} \begin{cases} \dot Q^{*}(t) = \mathcal{S}(t)P^{1/2}(t) + Q^{*}A^{T} \\ Q^{*}(t_0) = \mathcal{S_0}X^{1/2}_0 \end{cases} \end{equation}